Java算法之最长公共子序列问题(LCS)实例分析

本文实例讲述了Java算法之最长公共子序列问题(LCS)。分享给大家供大家参考,具体如下:

问题描述:一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说,若给定序列X= { x1, x2,…, xm},则另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 {i1, i2,…, ik},使得对于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如,序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列,相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y,当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时,称Z是序列X和Y的公共子序列。例如,若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A},则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列,序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。而且,后者是X和Y的一个最长公共子序列,因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn},要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

问题解析:设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。求X,Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。对X的多有子序列,检查它是否也是Y的子序列,从而确定它是否为X和Y的公共子序列。由集合的性质知,元素为m的集合共有2^m个不同子序列,因此,穷举法需要指数级别的运算时间。进一步分解问题特性,最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。

设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有:

(1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm!=yn且zk!=xm,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm!=yn且zk!=yn,则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中,Xm-1={x1,x2……xm-1},Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。

递推关系:用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中,Xi={x1,x2……xi},Yj={y1,y2……yj}。当i=0或j=0时,空序列是xi和yj的最长公共子序列。此时,c[i][j]=0;当i,j>0,xi=yj时,c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;当i,j>0,xi!=yj时,
c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]},由此建立递推关系如下:

构造最优解:由以上分析可知,要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列,可以按一下方式递归进行:当xm=yn时,找出xm-1和yn-1的最长公共子序列,然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最长公共子序列。当Xm!=Yn时,必须解两个子问题,即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的最长公共子序列。设数组b[i][j]记录c[i][j]的值由哪一个子问题的解得到的,从b[m][n]开始,依其值在数组b中搜索,当b[i][j]=1时,表示Xi和Yj的最长公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。当b[i][j]=2时,表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj-1的最长公共子序列相同。当b[i][j]=3时,表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj-1的最长公共子序列相同。

代码如下:

package LCS;
public class LCS {
  public static int[][] LCSLength ( String[] x, String[] y) {
    int m = x.length;
    int n = y.length;
    int[][] b = new int[x.length][y.length];
    int[][] c = new int[x.length][y.length];
    for(int i = 1; i < m; i++) {
      c[i][0] = 0;
    }
    for(int i = 1; i < n; i++) {
      c[0][i] = 0;
    }
    for(int i = 1; i < m; i++) {
      for(int j = 1; j < n; j++) {
        if(x[i] == y[j]) {
          c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
          b[i][j] = 1;
        }
        else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {
          c[i][j] = c[i-1][j];
          b[i][j] = 2;
        }
        else {
          c[i][j] = c[i][j-1];
          b[i][j]=3;
        }
      }
    }
    return b;
  }
  public static void LCS(int[][] b, String[] x, int i, int j) {
    if(i == 0|| j == 0) return;
    if(b[i][j] == 1) {
      LCS(b,x,i - 1, j - 1);
      System.out.print(x[i] + " ");
    }
    else if(b[i][j] == 2) {
      LCS(b,x,i - 1, j);
    }
    else LCS(b,x,i, j-1);
  }
  public static void main(String args[]) {
    System.out.println("我们测试结果:");
    String[] x = {" ","A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};
    String[] y = {" ","B", "D", "C", "A", "B", "A"};
    int[][] b = LCSLength(x, y);
    System.out.println("X和y的最长公共子序列是:");
    LCS(b, x, x.length - 1, y.length - 1);
  }
}

运行结果:

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希望本文所述对大家java程序设计有所帮助。

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