C中实现矩阵乘法的一种高效的方法

如何计算矩阵乘法，这个大家都知道。通常情况下，我们都是用以下代码实现的：


代码如下:

for(i=0;i<n;++i)
    for(j=0;j<n;++j){
        sum=0;
        for(k=0;k<n;++k)
            sum+=A[i][k]*B[k][j];
        C[i][j]+=sum;
}

但是考虑了高速缓存的问题后，其实有一种更好的实现方式：


代码如下:

for(i=0;i<n;++i)
    for(k=0;k<n;++k){
        r=A[i][k];
        for(j=0;j<n;++j)
            C[i][j]+=r*B[k][j];
}

细看一番就会发现这两种实现语义是等价的，但是后者的实际运行效率却比前者高。

那为什么会如此呢？

那是因为CPU读数据时，并不是直接访问内存，而是先查看缓存中是否有数据，有的话直接从缓存读取。而从缓存读取数据比从内存读数据快很多。

当数据不在缓存中时，CPU会将包含数据在内的一个数据块读到缓存，如果程序具有良好空间局部性，那么第一次cache miss后，之后的几次数据访问就可以直接在缓存中完成。除了空间局部性（程序倾向于引用与当前数据邻近的数据）之外，还有时间局部性（程序倾向于引用最近被引用过的数据）。

回到矩阵乘法。（我们只考虑内循环）

前者对矩阵A，有良好的空间局部性，假设一次能缓存四个元素，则每次迭代对于A只有0.25次miss，但是对于B，则不然，因此B是按列访问的，每次访问都会miss，因此每次迭代总的miss数是1.25。

后者对于矩阵C和矩阵B都有良好的局部性，每次迭代都只有0.25词miss，因此总的miss数是0.5。后者每次迭代多了一次存储（对C[i][j]写入），但是即便如此，后者的运行效率也比前者高。

总而言之，要想程序跑得快，就要在程序中多利用局部性，让缓存hold住你的数据，减少访存次数。要知道CPU可以在3个时钟周期内访问到L1 cache，10个时钟周期左右的时间访问到L2 cache。访问内存却要上百个时钟周期，孰快孰慢，很清楚了吧？

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