深入理解堆排序及其分析

记得在学习数据结构的时候一味的想用代码实现算法，重视的是写出来的代码有一个正确的输入，然后有一个正确的输出，那么就很满足了。从网上看了许多的代码，看了之后貌似懂了，自己写完之后也正确了，但是不久之后就忘了，因为大脑在回忆的时候，只依稀记得代码中的部分，那么的模糊，根本不能再次写出正确的代码，也许在第一次写的时候是因为参考了别人的代码，看过之后大脑可以进行短暂的高清晰记忆，于是欺骗了我，以为自己写出来的，满足了成就感。可是代码是计算机识别的，而我们更喜欢文字，图像。所以我们在学习算法的时候要注重算法的原理以及算法的分析，用文字，图像表达出来，然后当需要用的时候再将文字转换为代码。记忆分为三个步骤：编码，存储和检索，就以学习为例，先理解知识，再归纳知识，最后巩固知识，为了以后的应用而方便检索知识。

堆排序过程
堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。

既然是堆排序，自然需要先建立一个堆，而建堆的核心内容是调整堆，使二叉树满足堆的定义（每个节点的值都不大于其父节点的值）。调堆的过程应该从最后一个非叶子节点开始，假设有数组A = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0}。那么调堆的过程如下图，数组下标从0开始，A[3] = 5开始。分别与左孩子和右孩子比较大小，如果A[3]最大，则不用调整，否则和孩子中的值最大的一个交换位置，在图1中是A[7] > A[3] > A[8]，所以A[3]与A[7]对换，从图1.1转到图1.2。

所以建堆的过程就是


代码如下:

for ( i = headLen/2; i >= 0; i++)

do AdjustHeap(A, heapLen, i)

建堆完成之后，堆如图1.7是个大根堆。将A[0] = 8 与 A[heapLen-1]交换,然后heapLen减一，如图2.1，然后AdjustHeap(A, heapLen-1, 0)，如图2.2。如此交换堆的第一个元
素和堆的最后一个元素，然后堆的大小heapLen减一，对堆的大小为heapLen的堆进行调堆，如此循环，直到heapLen == 1时停止，最后得出结果如图3。

代码如下:

/*
     输入：数组A，堆的长度hLen，以及需要调整的节点i
     功能：调堆
 */

void AdjustHeap(int A[], int hLen, int i)
 {
     int left = LeftChild(i);  //节点i的左孩子
     int right = RightChild(i); //节点i的右孩子节点
     int largest = i;
     int temp;

while(left < hLen || right < hLen)
     {
         if (left < hLen && A[largest] < A[left])
         {
             largest = left;
         }

if (right < hLen && A[largest] < A[right])
         {
             largest = right;
         }

if (i != largest)   //如果最大值不是父节点
         {
              temp = A[largest]; //交换父节点和和拥有最大值的子节点交换
              A[largest] = A[i];
              A[i] = temp;

i = largest;         //新的父节点，以备迭代调堆
             left = LeftChild(i);  //新的子节点
             right = RightChild(i);
         }
         else
         {
             break;
         }
     }
 }

/*
     输入：数组A，堆的大小hLen
     功能：建堆
 */
 void BuildHeap(int A[], int hLen)
 {
     int i;
     int begin = hLen/2 - 1;  //最后一个非叶子节点
     for (i = begin; i >= 0; i--)
     {
         AdjustHeap(A, hLen, i); 
     }
 }

/*
     输入：数组A，待排序数组的大小aLen
     功能：堆排序
 */
 void HeapSort(int A[], int aLen)
 {
     int hLen = aLen;
     int temp;

BuildHeap(A, hLen);      //建堆

while (hLen > 1)
     {
         temp = A[hLen-1];    //交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素
         A[hLen-1] = A[0];
         A[0] = temp;
         hLen--;        //堆的大小减一
         AdjustHeap(A, hLen, 0);  //调堆
     }
 }

性能分析
•调堆：上面已经分析了，调堆的运行时间为O(h)。
•建堆：每一层最多的节点个数为n1 = ceil(n/(2^(h+1))),

因此，建堆的运行时间是O(n)。
•循环调堆（代码67-74），因为需要调堆的是堆顶元素，所以运行时间是O(h) = O(floor(logn))。所以循环调堆的运行时间为O(nlogn)。
总运行时间T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。对于堆排序的最好情况与最坏情况的运行时间，因为最坏与最好的输入都只是影响建堆的运行时间O(1)或者O(n)，而在总体时间中占重要比例的是循环调堆的过程，即O(nlogn) + O(1) =O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。因此最好或者最坏情况下，堆排序的运行时间都是O(nlogn)。而且堆排序还是原地算法（in-place algorithm）。

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